Question

【题目】操作发现：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥BC，交AB于点E，在EB上截取EF＝AE，过点F作FG⊥AC于点G，GF与ED相交于点H，且点H恰好为GF的中点，连接DG，DF．

（1）小明发现△GCD≌△DHF，请你写出证明过程；

（2）小亮同学经过探究发现：AF＝AC+GC．请你帮助小亮同学证明这一结论．

特例探究：

（3）如图2，若∠B＝30°，探究四边形AGDE是哪种特殊的四边形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AGDE是菱形，见解析.

【解析】

（1）利用角平分线与垂直的性质得到AC∥ED，得到∠BAD＝∠ADE，根据平行得到∠CDG＝∠DGF，从而求出∠FHD=∠C＝90°，再根据垂直平分线性质得到DG＝DF，∠DFG＝∠DGF，故∠CDG＝∠DFG，再根据AAS即可证明全等三角形；

（2）过D作DP⊥AB于P，根据AD平分∠CAB，DC⊥AC，得到DC＝DP，故可证得Rt△CAD≌Rt△PAD，得到AC＝AP，又GD＝FD，DC＝PD，得到Rt△GCD≌Rt△FPD

故CG＝PF，即可求出AF＝AP+PF＝AC+GC；

（3）根据∠B＝30°，FG∥BC，得到∠AFG＝30°，得到AG＝AF，AG＝AE，根据两组对边相等得到四边形AGDE是平行四边形，再由AG＝AE，得到四边形AGDE是菱形．

证明：（1）∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵DE⊥BC，∠C＝90°，

∴∠EDB＝∠C＝90°，

∴AC∥ED，

∴∠CAD＝∠ADE，

∴∠BAD＝∠ADE，

∴AE＝ED，∵FG⊥AC，

∴∠AGF＝∠C＝90°，

∴FG∥BC，

∴∠CDG＝∠DGF，

∵AC∥ED，FG⊥AC，

∴FG⊥ED，∴∠FHD＝90°，

∵点H恰好为GF的中点，

∴ED是线段GF的垂直平分线，

∴DG＝DF，∠DFG＝∠DGF，

∴∠CDG＝∠DFG，

在△GDC与△DFH中，，

∴△GDC≌△DFH（AAS）；

（2）过D作DP⊥AB于P，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，

∴DC＝DP，

在Rt△CAD与Rt△PAD中，

∴Rt△CAD≌Rt△PAD（HL），

∴AC＝AP，

∵GD＝FD，DC＝PD，

∴Rt△GCD≌Rt△FPD（HL），

∴CG＝PF，

∴AF＝AP+PF＝AC+GC；

（3）四边形AGDE是菱形，

理由：∵∠B＝30°，FG∥BC，

∴∠AFG＝30°，

∴AG＝AF，

∴AG＝AE，

∵AG∥ED，AE＝DE，

∴AG＝ED，

∴四边形AGDE是平行四边形，

∵AG＝AE，

∴四边形AGDE是菱形．