Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，∠BAD=α，sinα=

5

5

，AB=12．线段BD的长度为：

 

；求线段CD的长度和sin2α的值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的定义和性质得∠CAD=α，DE=DC，在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sin∠CAD=

CD

AD

=

5

5

，设CD=

5

x，则AD=5x，DE=

5

x，利用勾股定理得AC=2

5

x，再利用面积法得

1

2

DE•AB=

1

2

AC•BD，可计算出BD=6；在Rt△ACB中，根据勾股定理得（2

5

x）²+（

5

x+6）²=12²，解方程得到CD=

5

x=

18

5

，则BC=CD+BD=

48

5

，然后根据正弦的定义求sin2α的值．

解答：解：作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，∠BAD=α，
∴∠CAD=α，DE=DC，
在Rt△ACD中，sin∠CAD=sinα=

CD

AD

=

5

5

，
设CD=

5

x，则AD=5x，DE=

5

x，
∴AC=

AD2-CD2

=2

5

x，
∵S_△ADB=

1

2

DE•AB=

1

2

AC•BD，即

5

x•12=2

5

x•BD，
∴BD=6，
在Rt△ACB中，
∵AC²+BC²=AB²，
∴（2

5

x）²+（

5

x+6）²=12²，解得x₁=

18 5

25

，x₂=-

6 5

5

，
∴CD=

5

x=

18

5

，
∴BC=CD+BD=

48

5

，
∴sin∠BAC=

BC

AB

=

48 5

12

=

4

5

．
即sin2α=

4

5

．
故答案为6．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．