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【题目】等边三角形ABC和等腰三角形ABD按如图所示的位置摆放,∠DAB=90°,AC与BD相交于点E,F为AD上一点,连接EF,CF,CF与BD交于点P,过点D作DG⊥AC于点G,过点B作BH⊥AC于点H. 已知∠ECF=45°.

(1)求证:△CDE≌△DCF;

(2)试判断CD与EF之间的位置关系,并说明理由;

(3)求的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)EFCD,理由见解析;(3).

【解析】分析:(1)首先证明AC=AD,推出∠ADC=∠ACD,再根据∠ADB=∠ACF=45°,即可推出∠FCD=∠EDC,由此即可证明;(2)结论:EF∥CD.只要证明∠AFE=∠ADC即可;(3)设AB=BC=AC=AD=a,求出DG,BH即可解决问题;

本题解析:

(1)证明:∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,

∵AB=AD,∠DAB=90°,

∴AD=AC,∠ADB=∠ACF=45°,

∴∠ADC=∠ACD,

∴∠FCD=∠EDC,

在△CDE和△DCF中,

∴△CDE≌△DCF.

(2)结论:EF∥CD.

理由:∵△CDE≌△DCF,∴DF=CE,∵AD=AC,∴AF=AE,∴∠AEF=∠AFE,

∵∠ADC=∠ACD,∠EAF+2∠AFE=180°,∠DAC+2∠ADC=180°,

∴∠AFE=∠ADC,∴EF∥CD.

(3)设AB=BC=AC=AD=a,

∵DG⊥AC,BH⊥AC,

在Rt△ADG中,∠DAG=∠DAB∠CAB=90°60°=30°,

∴DG=AD=a,

在Rt△ABH中,BH=ABsin60°=

.

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(2)如图2所示,当点D在射线CE上,点H在射线CA上时,试判断并证明DH与BD之间的数量关系.

图1 图2

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【题目】【问题提出】

学习了三角形全等的判定方法(即“SSS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等的情形进行研究.

【初步思考】

我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC△DEF中,AC=DFBC=EF∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角三种情况进行探究.

【深入探究】

第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF

如图,在△ABC△DEFAC=DFBC=EF∠B=∠E=90°,根据   ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF

第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF

如图,在△ABC△DEFAC=DFBC=EF∠B=∠E,且∠B∠E都是钝角,请你证明:△ABC≌△DEF(提示:过点CCG⊥ABAB的延长线于G,过点FFH⊥DEDE的延长线于H).

第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC△DEF不一定全等.

△ABC△DEFAC=DFBC=EF∠B=∠E,且∠B∠E都是锐角,请你利用图,在图中用尺规作出△DEF,使△DEF△ABC不全等.

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