【题目】等边三角形ABC和等腰三角形ABD按如图所示的位置摆放,∠DAB=90°,AC与BD相交于点E,F为AD上一点,连接EF,CF,CF与BD交于点P,过点D作DG⊥AC于点G,过点B作BH⊥AC于点H. 已知∠ECF=45°.
(1)求证:△CDE≌△DCF;
(2)试判断CD与EF之间的位置关系,并说明理由;
(3)求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)EF∥CD,理由见解析;(3).
【解析】分析:(1)首先证明AC=AD,推出∠ADC=∠ACD,再根据∠ADB=∠ACF=45°,即可推出∠FCD=∠EDC,由此即可证明;(2)结论:EF∥CD.只要证明∠AFE=∠ADC即可;(3)设AB=BC=AC=AD=a,求出DG,BH即可解决问题;
本题解析:
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,
∵AB=AD,∠DAB=90°,
∴AD=AC,∠ADB=∠ACF=45°,
∴∠ADC=∠ACD,
∴∠FCD=∠EDC,
在△CDE和△DCF中,
,
∴△CDE≌△DCF.
(2)结论:EF∥CD.
理由:∵△CDE≌△DCF,∴DF=CE,∵AD=AC,∴AF=AE,∴∠AEF=∠AFE,
∵∠ADC=∠ACD,∠EAF+2∠AFE=180°,∠DAC+2∠ADC=180°,
∴∠AFE=∠ADC,∴EF∥CD.
(3)设AB=BC=AC=AD=a,
∵DG⊥AC,BH⊥AC,
在Rt△ADG中,∠DAG=∠DAB∠CAB=90°60°=30°,
∴DG=AD=a,
在Rt△ABH中,BH=ABsin60°=,
∴.
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【题目】如图矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为__.
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【题目】某种细菌的直径是0.00000078米,将数据0.00000078用科学记数法表示为( )
A. 7.8×10﹣7 B. 7.8×10﹣8 C. 0.78×10﹣7 D. 78×10﹣8
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【题目】以下列各组线段的长为边,能组成三角形的是( )
A.3cm,6cm,8cmB.3cm,2cm,6cmC.5cm,6cm,11cmD.2cm,7cm,4cm
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【题目】已知在△ABC中,AC=BC,AC⊥BC于点C,过点C作直线EF∥AB,点D在直线EF上,连接BD,过点D作GD⊥BD,交直线AC于点H,连接BG.
(1)如图1所示,当点D在射线CF上,点H在射线AC上时,连接BH,过点D作MD⊥CD,交CB的延长线于点M. 求证:∠GBH+∠G=∠M;
(2)如图2所示,当点D在射线CE上,点H在射线CA上时,试判断并证明DH与BD之间的数量关系.
图1 图2
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【题目】【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究.
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,然后,对∠B进行分类,可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究.
【深入探究】
第一种情况:当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
如图①,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90°,根据 ,可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况:当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
如图②,在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是钝角,请你证明:△ABC≌△DEF(提示:过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H).
第三种情况:当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
在△ABC和△DEF,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,请你利用图③,在图③中用尺规作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.
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【题目】一个商店把iPad按标价的九折出售,仍可获利20%,若该iPad的进价是2400元,则ipad标价是( )
A.3200元
B.3429元
C.2667元
D.3168元
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【题目】将A(1,1)先向左平移2个单位,再向下平移2个单位得点B,则点B的坐标是( )
A.(-1,-1)B.(3,3)C.(0,0)D.(-1,3)
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