Question

如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=

1

2

x²+bx-2的图象经过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S_△CEF=

1

2

S_△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
（3）首先作出?PACB，然后证明点P在抛物线上即可．

解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，

∠OAB=∠ACD AB=AC ∠OBA=∠CAD

∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=

1

2

x²+bx-2上，
∴1=

1

2

×9+3b-2，解得：b=-

1

2

．
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

1

2

x-2，
；

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=

5

．
∴S_△ABC=

1

2

AB²=

5

2

．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴

b=2 3k+b=1

，
解得k=-

1

3

，b=2，
∴y=-

1

3

x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=

1

2

x-

1

2

．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（-

1

3

x+2）-（

1

2

x-

1

2

）=

5

2

-

5

6

x．
△CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x．
由题意得：S_△CEF=

1

2

S_△ABC，
即：

1

2

EF•h=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

×（

5

2

-

5

6

x）•（3-x）=

1

2

×

5

2

，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-

3

或x=3+

3

（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3-

3

时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）存在．
如答图2所示，

过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB-OG=1．
过点A作AP∥BC交y轴于点W，
∵四边形ACBP是平行四边形，
∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，
∵BC∥AP，
∴∠CBO=∠AWO，
∵PH∥WO，
∴∠APH=∠AWO，
∴∠CBG=∠APH，
在△PAH和△BCG中，

∠AHP=∠BGC ∠APH=∠CBG AP=BC

∴△PAH≌△BCG（AAS），
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH-OA=2，
∴P（-2，1）．
抛物线解析式为：y=

1

2

x²-

1

2

x-2，当x=-2时，y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（-2，1）．

点评：本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．