Question

29、如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，高AA₁=20cm，底面A₁B₁C₁D₁是长方形，其长A₁B₁=10cm，宽A₁D₁=7cm，点E在B₁C₁上，且距B₁点5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A爬到点E，需要爬行的最短路程是多少？

Answer 1

分析：首先将长方体沿B₁C₁、C₁C、CB剪开，向右翻折，使面ABB₁A₁和面BCC₁B₁在同一个平面内，连接AE或将长方体沿B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁剪开，向上翻折，使面ABB₁A₁和面A_lB_lC₁D₁在同一个平面内，连接AE．然后分别在Rt△AA₁E中与Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的长，比较即可求得需要爬行的最短路程．

解答：解：将长方体沿B₁C₁、C₁C、CB剪开，向右翻折，使面ABB₁A₁和面BCC₁B₁在同一个平面内，连接AE．（如图1）
在Rt△AA₁E中，AA₁=20，A_lE=10+5=15．
由勾股定理，得AE²=AA₁²+A₁E²=20²+15²=625．
则AE=25．
将长方体沿B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁剪开，向上翻折，使面ABB₁A₁和面A_lB_lC₁D₁在同一个平面内，连接AE．（如图2）
在Rt△ABE中，AB=10，BE=20+5=25．
由勾股定理，得AE²=AB²+BE²=10²+25²=725．（8分）
∵625＜725，
∴蚂蚁需要爬行的最短路程是25cm．

点评：此题考查了最短路径问题．解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．