【题目】在平面直角坐标系xOy中,点P和图形W的中间点的定义如下:Q是图形W上一点,若M为线段PQ的中点,则称M为点P和图形W的中间点.C(-2,3),D(1,3),E(1,0),F(-2,0)
(1)点A(2,0),
①点A和原点的中间点的坐标为 ;
②求点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围;
(2)点B为直线y=2x上一点,在四边形CDEF的边上存在点B和四边形CDEF的中间点,直接写出点B的横坐标n的取值范围.
【答案】(1)①(1,0);②;(2)或1≤n≤3.
【解析】
(1)①根据点A,O的坐标,利用中点坐标公式即可求出结论;
②依照题意画出图形,观察图形可知点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′,根据点A,C,D的坐标,利用中点坐标公式可求出点C′,D′的坐标,进而可得出m的取值范围;
(2)利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标为(n,2n),依照题意画出图形,观察图形可知:点B和四边形CDEF的中间点只能在边EF和DE上,当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时,利用四边形CDEF的纵坐标的范围,可得出关于n的一元一次不等式组,解之即可得出n的取值范围;当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时,由四边形CDEF的横、纵坐标的范围,可得出关于n的一元一次不等式组,解之即可得出n的取值范围.综上,此题得解.
(1)①∵点A的坐标为(2,0),
∴点A和原点的中间点的坐标为(,),即(1,0).
故答案为:(1,0).
②如图1,点A和线段CD的中间点所组成的图形是线段C′D′.
由题意可知:点C′为线段AC的中点,点D′为线段AD的中点.
∵点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(-2,3),点D的坐标为(1,3),
∴点C′的坐标为(0,),点D′的坐标为(,),
∴点A和线段CD的中间点的横坐标m的取值范围为0≤m≤.
(2)∵点B的横坐标为n,
∴点B的坐标为(n,2n).
当点B和四边形CDEF的中间点在边EF上时,有,
解得:-≤n≤0;
当点B和四边形CDEF的中间点在边DE上时,有,
解得:1≤n≤3.
综上所述:点B的横坐标n的取值范围为-≤n≤0或1≤n≤3.
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【题目】如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A(﹣6,0)和原点O(0,0),它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q,则图中阴影部分的面积为 ▲ .
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【题目】某校为了解九年级学生体育测试情况,以九年级(1)班学生的体育测试成绩为样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,并将统计结果绘制成如下的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(说明:A级:90分~100分;B级:75分~89分;C级:60分~74分;D级:60分以下)
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角度数是多少?
(3)若该校九年级有600名学生,请用样本估计体育测试中A级学生人数约为多少人?
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
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【题目】如图,四边形 是菱形,B=6,且∠ABC=60° ,M是菱形内任一点,连接AM,BM,CM,则AM+BM+CM 的最小值为________。
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为点D,直线DC与AB的延长线相交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB点F,连接BE.
(1)求证:AC平分∠DAB;
(2)求证:PC=PF;
(3)若tan∠ABC=,AB=14,求线段PC的长.
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【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=DQ,求点F的坐标.
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【题目】如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)已知PA=,∠ACB=60°,求⊙O的半径.
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