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(2005•乌鲁木齐)四边形OABC是等腰梯形,OA∥BC.在建立如图的平面直角坐标系中,A(4,0),B(3,2),点M从O点以每秒2个单位的速度向终点A运动;同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动,过点N作NP垂直于x轴于P点连接AC交NP于Q,连接MQ.
(1)写出C点的坐标;
(2)若动点N运动t秒,求Q点的坐标;(用含t的式子表示)
(3)其△AMQ的面积S与时间t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(4)当t取何值时,△AMQ的面积最大;
(5)当t为何值时,△AMQ为等腰三角形.

【答案】分析:(1)由于等腰梯形是轴对称图形,根据O、A坐标可求出等腰梯形对称轴的解析式,进而可根据B点坐标和对称轴的解析式求出C点坐标.
(2)求Q点坐标,即求QP和OP的长,Q点横坐标即为B点横坐标减去NB的长,据此可求出Q点横坐标,Q点纵坐标可通过构建相似三角形来求解,过C作CE⊥OA于E,可根据QP∥CE得出的关于AP、AE、PQ、CE的比例关系式求出Q点纵坐.由此可得出Q点坐标.
(3)在②中已经求得了QP的长,AM的长易得出,据此可用三角形面积公式求出S,t的函数关系式.
(4)根据(3)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值.
(5)本题要分三种情况讨论:
①QM=QA,根据等腰三角形三线合一的特点,可得出MP=PA=AM,可根据MP和AP的不同表达式求出t的值.
②AM=QA,可直接用表示AM的式子表示AQ,然后在直角三角形PAQ中,用勾股定理求出t的值;③QM=MA,同②.
解答:解:(1)C(1,2).

(2)过C作CE⊥x轴于E,则CE=2
当动点N运动t秒时,NB=t
∴点Q的横坐标为3-t
设Q点的纵坐标为yQ
由PQ∥CE得
∴yQ=
∴点Q(3-t,);

(3)点M以每秒2个单位运动,
∴OM=2t,AM=4-2t,
S△AMQ=AM•PQ=•(4-2t)•
=(2-t)(t+1)
=-(t2-t-2)
当t=2时,M运动到A点,△AMQ不存在,
∴t≠2,
∴t的取值范围是0≤t<2;

(4)由S△AMQ=(t2-t-2)=-(t-2+
当t=时,Smzx=

(5)①若QM=QA
∵QP⊥OA,
∴MP=AP,
而MP=4-(1+t+2t)=3-3t,
即1+t=3-3t,
t=
∴当t=时,△QMA为等腰三角形;
②若AQ=AM
AQ2=AP2+PQ2=(1+t)2+(2=(1+t)2AQ=
AM=4-2t(1+t)=4-2t,
t=而0<<2,
∴当t=时,△QMA为等腰三角形;
③若MQ=MA
MQ2=MP2+PQ2
=(3-3t)2+(2=t2-t+
t2-t+
=(4-2t)2
t2-t-=0
解得t=或t=-1(舍去)
∵0<<2,
∴当t=时,△QMA为等腰三角形;
综上所述:当t=,t=或t=△QMA都为等腰三角形.
点评:本题是点的运动性问题,考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定等知识点,综合性较强,考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法.
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