Question

如图1，正方形ABCD和过其对角线交点O的正方形OEFG的边长相等，OE交AB于M，OG交BC于N．
（1）求证：△AOM≌△BON；
（2）当四边形MONB的面积为1时，求正方形的边长；
（3）在（2）的条件下，如果正方形OEFG绕点O逆时针转动，使顶点E刚好落在CB的延长线上如图2，并过O作OH⊥BC垂足为H，求MB的长．

Answer 1

分析：（1）根据同角的余角相等求出∠AOM=∠BON，再根据正方形的性质求出AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，然后利用“角边角”证明△AOM和△BON全等即可；
（2）根据全等三角形的面积相等可得△AOM和△BON的面积相等，然后根据四边形MONB的面积求出正方形ABCD的面积，再求出边长；
（3）先根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠OEH=30°，然后求出BH、EH的长，再求出EB，然后解直角三角形即可得到MB的长．

解答：（1）证明：∵∠AOM+∠BOM=90°，∠BON+∠BOM=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵四边形ABCD和四边形OEFG都是正方形，
∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，
在△AOM和△BON中，

∠AOM=∠BON AO=BO ∠OAM=∠OBN

，
∴△AOM≌△BON（ASA）；

（2）解：∵△AOM≌△BON，
∴△AOM的面积=△BON的面积，
∴四边形MONB的面积=

1

4

正方形ABCD的面积，
∵四边形MONB的面积为1，
∴正方形ABCD的面积=4，
∴正方形ABCD的边长为2；

（3）解：∵OH⊥BC，
∴OH=

1

2

×2=1，
又∵OE=2，
∴∠OEH=30°，
∴BH=OH=1，EH=

22-12

=

3

，
∴EB=EH-BH=

3

-1，
在Rt△EBM中，MB=EB•tan30°=（

3

-1）×

3

3

=1-

3

3

．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形得到性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及解直角三角形，综合性较强，难度中等，熟记各性质并准确识图是解题的关键．