Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B与∠C的角平分线交于点O，过O点作MN∥BC，分别交AB，AC于M，N．
（1）图中等腰三角形共有______个（已知的△ABC除外）
（2）求证：△BMO是等腰三角形；
（3）求证：MN=2BM．
（4）△ABC中，AB=AC，M，N分别是AB，AC上的点，且AM=AN，O为MN的中点，则BO，CO分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，这个结论对吗？请直接回答．

Answer 1

（1）解：△BOM，△CON，△BOC，△AMN，△ABC均为等腰三角形，
所以，除△ABC外还有4个；

（2）证明：∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠CBO=∠MOB，
∴∠MBO=∠MOB，
∴△BMO是等腰三角形；

（3）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AB-AM=AC-AN，
即BM=CN，
根据（2）△BMO是等腰三角形，
∴BM=OM，
同理可得CN=ON，
∴MN=OM+ON=BM+CN=2BM；

（4）解：结论不正确；
∵O为MN中点，
∴OM=ON，
又∵MN∥BC，
∴∠BMO=∠CNO，BM=CN，
在△BOM和△CON中，
，
∴△BOM≌△CON（SAS），
∴∠OBM=∠OCN，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
但不能肯定∠OBM=∠OBC，
即不能确定其为角平分线．
∴此问结论不正确．
分析：（1）写出图中的三角形都是等腰三角形；
（2）根据角平分线的定义可得∠MBO=∠CBO，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CBO=∠MOB，从而得到∠MBO=∠MOB，即可得证；
（3）根据等边对等角求出∠ABC=∠ACB，再根据两直线平行，同位角相等求出∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，然后求出∠AMN=∠ANM，再根据等角对等边求出AM=AN，然后求出BM=CN，再根据（2）的结论可得BM=MO，CN=ON，从而得证；
（4）先求出△BOM和△CON全等，根据全等三角形对应角相等可得∠OBM=∠OCN，再求出∠OBC=∠OCB，再根据不能肯定∠OBM=∠OBC，从而得到此题结论不正确．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，综合性较强，但难度不大，仔细分析图形是解题的关键．