Question

4．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C点且OA=OC，对称轴为x=1，有下列结论：①2a+b=0；②ac+b+1=0；③0＜a＜$\frac{1}{2}$；④当m≠1时，a+b＞am²+bm，其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解答 解：由图象可知：对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，①正确；
由图象可知：OC=|c|=-c （∵c＜0），
∵OA=OC，
∴OA=OC=|c|．
则A点的坐标为（c，0），代入函数解析式可得ac²+bc+c=0，
化简得ac+b+1=0，②正确；
∵A（c，0），对称轴是x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴B（2-c，0），b=-2a，
代入y=ax²+bx+c得a（2-c）²-2a（2-c）+c=0，
解得a=$\frac{1}{2-c}$，
∵c＜0，
∴2-c＞2，
∴a＜$\frac{1}{2}$，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴0$＜a＜\frac{1}{2}$，③正确；
当x=1时，函数有最小值，
∴a+b+c＜am²+bm+c，（m≠1），
∴a+b＜am²+bm，④错误．
∴①②③正确，
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用图象求出a，b，c的范围，以及特殊值的代入能得到特殊的式子．