Question

3．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在$\widehat{BD}$上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．
（1）求证：CF⊥AB；
（2）若CD=4，CB=4$\sqrt{5}$，cos∠ACF=$\frac{4}{5}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠CFA=180°-（DAB+∠3）=90°，于是得到结论；
（2）连接OE，由∠ADB=90°，得到∠CDB=180°-∠ADB=90°，根据勾股定理得到DB=$\sqrt{C{B}^{2}-C{D}^{2}}$=8解直角三角形得到CD=4，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠1=90°，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴∠DAB+∠3=90°，
∴∠CFA=180°-（DAB+∠3）=90°，
∴CF⊥AB；

（2）连接OE，
∵∠ADB=90°，
∴∠CDB=180°-∠ADB=90°，
∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4$\sqrt{5}$，
∴DB=$\sqrt{C{B}^{2}-C{D}^{2}}$=8，
∵∠1=∠3，
∴cos∠1=cos∠3=$\frac{DB}{AB}$=$\frac{4}{5}$，
∴AB=10，
∴OA=OE=5，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-D{B}^{2}}$=6，
∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，
∵CF=AC•cos∠3=8，
∴AF=$\sqrt{A{C}^{2}-C{F}^{2}}$=6，
∴OF=AF-OA=1，
∴EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了垂径定理，勾股定理解直角三角形，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．