Question

10．已知O是直线AB上 的一点，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF=36°，求∠BOE的度数．（写出求解过程）
（2）若∠COF=n°，则∠BOE=2n°，∠BOE与∠COF的数量关系为∠BOE=2∠COF．
（3）当∠COE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（2）中∠BOE与∠COF的数量关系还成立吗？如果成立，请写出数量关系，并写出推理过程；如不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据互余得到∠EOF=90°-34°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-68°，然后根据邻补角的定义得到∠BOE；
（2）当∠COF=n°，根据互余得到∠EOF=90°-n°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，然后根据邻补角的定义得到∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，所以有∠BOE=2∠COF；
（3）同（2），可得到∠BOE=2∠COF．

解答 解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=36°，
∴∠EOF=90°-36°=54°，
∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=108°，
∴∠BOE=180°-108°=72°；
（2）当∠COF=n°，
∴∠EOF=90°-n°，
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
∴∠BOE=2∠COF．
故答案为：2n，∠BOE=2∠COF；
（3）∠BOE与∠COF的数量关系仍然成立．理由如下：
设∠COF=n°，
∵∠COE是直角，
∴∠EOF=90°-n°，
又∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
即∠BOE=2∠COF．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；也考查了角平分线的定义以及互余互补的含义．