Question

4．在边长A的正方形中前去一个边长B的小正方形（A＞B），把剩下的部分制成一个梯形，请回答下列问题：

（1）这个拼图验证了一个乘法公式是（a+b）（a-b）=a²-b²．
（2）请利用这个公式计算：（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{5}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{5{0}^{2}}$）

Answer 1

分析 （1）将阴影部分面积用含a，b的代数式表示出来，再根据阴影部分的面积相等得出乘法公式；
（2）根据所得的平方差公式，将计算式子中每个括号内进行因式分解，即可得出结果．

解答 解：（1）左图中，阴影部分面积=a²-b²
右图中，阴影部分面积=$\frac{（2b+2a）（a-b）}{2}$=（a+b）（a-b）
∴a²-b²=（a+b）（a-b）
故答案为：（a+b）（a-b）=a²-b²；

（2）原式=（1+$\frac{1}{2}$）×$（1-\frac{1}{2}）$）×（1+$\frac{1}{3}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×（1-$\frac{1}{4}$）×（1+$\frac{1}{4}$）×…×（1+$\frac{1}{50}$）×（1-$\frac{1}{50}$）
=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{51}{50}$×$\frac{49}{50}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{51}{50}$
=$\frac{51}{100}$

点评 本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题时注意：利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式．