Question

20．已知：关于x的一元二次方程2x²-4x-3=0有两个根x₁，x₂．求：
（1）（x₁-1）（x₂-1）
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系找出x₁+x₂与x₁•x₂的值．
（1）利用整式的乘法将原式展开，再代入x₁+x₂与x₁•x₂的值即可得出结论；
（2）将分式进行通分、配方，再代入x₁+x₂与x₁•x₂的值即可得出结论．

解答 解：∵关于x的一元二次方程2x²-4x-3=0有两个根x₁，x₂，
∴x₁+x₂=2，x₁•x₂=-$\frac{3}{2}$．
（1）（x₁-1）（x₂-1）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=-$\frac{3}{2}$-2+1=-$\frac{5}{2}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}•{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{4+3}{-\frac{3}{2}}$=-$\frac{14}{3}$．

点评 本题考查了根与系数的关系、整式的运算法则以及分式的化简求值，解题的关键是利用根与系数的关系找出x₁+x₂与x₁•x₂的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．