Question

14．观察下列等式：
①2×$\frac{2}{1}$=2+$\frac{2}{1}$，②3×$\frac{3}{2}$=3+$\frac{3}{2}$，③4×$\frac{4}{3}$=4+$\frac{4}{3}$，…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．

Answer 1

分析 （1）根据等式中数字的变化，找出猜想；
（2）利用完全平方公式以及通分，可将等式左右两边变形为$\frac{{n}^{2}+2n+1}{n}$，由此即可得出等式成立，即猜想成立．

解答 解：（1）∵2=1+1，3=2+1，4=3+1，…，
∴猜想第n个等式为：（n+1）×$\frac{n+1}{n}$=n+1+$\frac{n+1}{n}$．

（2）证明：左边=（n+1）×$\frac{n+1}{n}$=$\frac{（n+1）^{2}}{n}$=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{n}$，
右边=n+1+$\frac{n+1}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n+n+1}{n}$=$\frac{{n}^{2}+2n+1}{n}$，
∵左边=右边，
∴（n+1）×$\frac{n+1}{n}$=n+1+$\frac{n+1}{n}$，即猜想成立．

点评 本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据等式的变化找出变化规律；（2）利用完全平方公式以及通分将等式左右两边变形为$\frac{{n}^{2}+2n+1}{n}$．