Question

4．在△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，已知AB=4，那么BC=2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，过点A作AD⊥AC，交BC于点D，过点B作BE⊥AD的延长线于点E，由三角形内角和定理判断出△ADC是等腰直角三角形，AD=AC．由直角三角形的性质求出BE及AE的长，再判断出△BED是等腰直角三角形可得出BD的长，再求出CD的长，由BC=BD+CD即可得出结论．

解答 解：过点A作AD⊥AC，交BC于点D，过点B作BE⊥AD的延长线于点E，
∵在△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，
∴∠C=180°-120°-15°=45°．
∵AD⊥AC，
∴∠ADC=45°，即△ADC是等腰直角三角形，AD=AC．
∵∠BAC=120°，∠DAC=90°，
∴∠BAE=30°，
∵AB=4，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AE=$\sqrt{{AB}^{2}-{BE}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∵∠BDE=∠ADC=45°，
∴△BED是等腰直角三角形，即BE=DE=2，
∴AD=AE-DE=2$\sqrt{3}$-2，BD=$\sqrt{{BE}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=AC=2$\sqrt{3}$-2，
∴CD=$\sqrt{{AD}^{2}+{AC}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{3}-2）}^{2}+{（2\sqrt{3}-2）}^{2}}$=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，
∴BC=BD+CD=2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{6}$．
故答案为：2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．