分析 (1)根据抛物线的性质和坐标轴上点的特点,求出点A,B,C的坐标;
(2)先判断出△PBC∽△CBA,得到$\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{BA}$,建立方程从而求得a即可;
(3)先判断出符合要求的点G,即点G和点C重合,然后说明△AGH≌△ABH即可.
解答 解:(1)令y=0,得,-$\frac{3}{4}$x2-$\frac{9}{4}$x+3=0,
∴x1=1,x2=-4,
∴A(-4,0),B(1,0),
令x=0,得,y=3,
∴C(0,3)
(2)假设存在点P(a,0),使得∠PCB=∠BAC,
∵∠PCB=∠BAC,∠PBC=∠CBA,
∴△PBC∽△CBA,
∴$\frac{BP}{BC}=\frac{BC}{BA}$,
∵BC=$\sqrt{10}$,BA=5,
∴$\frac{1-a}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$,
∴a=-1,
∴存在点P(-1,0);
(3)存在点G,H,使△AGH≌△ABH,
如图,
∵A(-4,0),C(0,3),B(1,0)
∴AB=5,AC=5,
∴AB=AC,
故点C就是符合要求的一个点G,
作∠BAC的平分线交抛物线于点H,连接BH,CH(GH),
∴∠CAH=∠BAH,
∵AH=AH,
∴△AGH≌△ABH,
∴当点G和点C重合时,△AGH≌△ABH.
点评 此题是二次函数综合题,主要考查了抛物线的性质,坐标轴上点的特点,相似三角形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,解本题的关键是判断三角形相似和全等.
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