分析 (1)由四边形AOCB为矩形,得到∠AOC为直角,在直角三角形AOC中,利用勾股定理求出OC的长,即可确定出C的坐标;
(2)连接AD,如图1所示,由折叠的性质设AD=DC=x,由OC-CD表示出OD,在直角三角形AOD中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出AD的长,由中心对称性质得到F为ED中点,在直角三角形ADF中,利用勾股定理求出DF的长,即可求出DE的长;
(3)在(2)的条件下,若点M在x轴上,平面内存在点N,使四边形FDMN是菱形,如图2所示,分两种情况考虑:当M与N在直线DE右边时;当M′与N′在直线DE左边时,分别利用菱形的四条边相等求出M的坐标即可.
解答 解:(1)∵四边形AOCB为矩形,
∴∠AOC=90°,
在Rt△AOC中,AC=10,OA=6,
根据勾股定理得:OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=8,
则C(8,0);
(2)连接AD,如图1所示,
由折叠的性质设AD=DC=x,则OD=OC-CD=8-x,
在Rt△AOD中,OA=6,AD=x,OD=8-x,
根据勾股定理得:AD2=OA2+OD2,即x2=62+(8-x)2,
解得:x=$\frac{25}{4}$,
∴AD=$\frac{25}{4}$,OD=$\frac{7}{4}$,
由中心对称性质得到E关于D对称,即EF=CF=$\frac{1}{2}$DE,
在Rt△ADF中,由勾股定理得:DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{25}{4})^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$,
则DE=2DF=$\frac{15}{2}$;
(3)在(2)的条件下,若点M在x轴上,平面内存在点N,使四边形FDMN是菱形,
如图2所示,分两种情况考虑:
当M与N在直线DE右边时,
∵四边形FDMN是菱形,DF=$\frac{15}{4}$,
∴DM=DF=$\frac{15}{4}$,
∴OM=OD+DM=$\frac{7}{4}$+$\frac{15}{4}$=$\frac{11}{2}$,即M($\frac{11}{2}$,0);
当M′与N′在直线DE左边时,
同理得到DM′=DF=$\frac{15}{4}$,
∴OM′=DM′-OD=2,此时M(-2,0),
综上,使四边形FDMN是菱形时M的坐标为($\frac{11}{2}$,0)或(-2,0).
点评 此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:折叠的性质,坐标与图形性质,勾股定理,矩形的性质,菱形的性质,利用了分类讨论的思想,熟练掌握性质是解本题的关键.
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