Question

5．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6．
（1）求C点的坐标；
（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求折痕DE的长；
（3）在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内是否存在点N，使四边形FDMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形AOCB为矩形，得到∠AOC为直角，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出OC的长，即可确定出C的坐标；
（2）连接AD，如图1所示，由折叠的性质设AD=DC=x，由OC-CD表示出OD，在直角三角形AOD中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AD的长，由中心对称性质得到F为ED中点，在直角三角形ADF中，利用勾股定理求出DF的长，即可求出DE的长；
（3）在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内存在点N，使四边形FDMN是菱形，如图2所示，分两种情况考虑：当M与N在直线DE右边时；当M′与N′在直线DE左边时，分别利用菱形的四条边相等求出M的坐标即可．

解答 解：（1）∵四边形AOCB为矩形，
∴∠AOC=90°，
在Rt△AOC中，AC=10，OA=6，
根据勾股定理得：OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=8，
则C（8，0）；
（2）连接AD，如图1所示，
由折叠的性质设AD=DC=x，则OD=OC-CD=8-x，
在Rt△AOD中，OA=6，AD=x，OD=8-x，
根据勾股定理得：AD²=OA²+OD²，即x²=6²+（8-x）²，
解得：x=$\frac{25}{4}$，
∴AD=$\frac{25}{4}$，OD=$\frac{7}{4}$，
由中心对称性质得到E关于D对称，即EF=CF=$\frac{1}{2}$DE，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{25}{4}）^{2}-{5}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
则DE=2DF=$\frac{15}{2}$；
（3）在（2）的条件下，若点M在x轴上，平面内存在点N，使四边形FDMN是菱形，
如图2所示，分两种情况考虑：
当M与N在直线DE右边时，
∵四边形FDMN是菱形，DF=$\frac{15}{4}$，
∴DM=DF=$\frac{15}{4}$，
∴OM=OD+DM=$\frac{7}{4}$+$\frac{15}{4}$=$\frac{11}{2}$，即M（$\frac{11}{2}$，0）；
当M′与N′在直线DE左边时，
同理得到DM′=DF=$\frac{15}{4}$，
∴OM′=DM′-OD=2，此时M（-2，0），
综上，使四边形FDMN是菱形时M的坐标为（$\frac{11}{2}$，0）或（-2，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：折叠的性质，坐标与图形性质，勾股定理，矩形的性质，菱形的性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．