Question

已知抛物线经过点A（3，2），B（0，1）和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线于另一点N（N在对称轴右边），交对称轴于F，若，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；
（2） ；
（3）点G的坐标为（0，0）或（0，-1）．

试题分析：（1）根据图象可得出A、B、C三点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）求出M、N点坐标，根据可得到N点坐标，根据直线MN的解析式可以求出M点坐标；
（3）分当△AMB∽△MBG时，当△BMA∽△MBG时，两种情况讨论即可．
试题解析：（1）由题得c=1，
∵抛物线过点A（3，2）和点C
    
    
；
（2） 
∴P，
抛物线的对称轴为直线, 
A与M关于对称轴对称
， ，
过点N作于点H


 

.
可求直线MN：y =" -" x+3
 ；
（3），，延长AM交y轴于点D，则D（0，2）.
，
 ，
与相似
点B与点M对应，点G只能在点B下方.
设
当△AMB∽△MBG时，
   
   
   
，
当△BMA∽△MBG时，

   
   

综上所述，满足要求的点G的坐标为（0，0）或（0，-1）．