Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求证：DC=BC；
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值．

Answer 1

分析：（1）此题要证明DC=BC不能用全等三角形的性质，利用tan∠ADC=2求出BC然后再判定相等；
（2）容易证明△DEC≌△BFC，得CE=CF，∠ECD=∠FCB，这样容易证明△ECF是等腰直角三角形；
（3）由∠BEC=135°得∠BEF=90°，这样求sin∠BFE，然后利用已知条件就可以求出它的值了．

解答：（1）证明：过A作DC的垂线AM交DC于M，则AM=BC=2．
又tan∠ADC=2，
∴DM=

2

2

=1，
即DC=BC；

（2）解：等腰直角三角形．
证明：因为DE=BF，∠EDC=∠FBC，DC=BC，
∴△DEC≌△BFC，
∴CE=CF，∠ECD=∠FCB，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°，
即△ECF是等腰直角三角形；

（3）解：设BE=k，则CE=CF=2k，
∴EF=2

2

k，
∵∠BEC=135°，又∠CEF=45°，
∴∠BEF=90°，
所以BF=

k2+(2 2 k)2

=3k，
所以sin∠BFE=

k

3k

=

1

3

．

点评：本题考查三角函数、全等三角形的应用、等腰三角形的判定等知识点的综合应用及推理能力、运算能力．