Question

13．如图，已知在△ABC中，DE∥BC，交AC于点F，H为BC上一点，连接DH，交AC的延长线于点M，连接EH，EH与AC交于点O．若∠ADF=∠EHC．
（1）若$\frac{EF}{HC}$=$\frac{4}{5}$，OC=5，求OF的长度；
（2）求证：△HMO∽△DMA；
（3）求证：$\frac{MO}{OA}$=$\frac{MC}{CF}$．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定，利用EF∥CH可判断△EFO∽△HCO，然后利用相似比可计算出OC的长；
（2）先证明∠B=∠EHC，则可判断AB∥EH，然后根据相似三角形的判定即可判断△HMO∽△DMA；
（2）根据平行线分线段成比例定理，先有OH∥AD得到$\frac{MO}{OA}$=$\frac{MH}{HD}$，再利用HC∥DF得到$\frac{MH}{HD}$=$\frac{MC}{CF}$，然后利用等量代换即可得到结论．

解答 （1）解：∵EF∥CH，
∴△EFO∽△HCO，
∴$\frac{OF}{OC}$=$\frac{EF}{HC}$=$\frac{4}{5}$，
∴OF=$\frac{4}{5}$OC=4；
（2）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADF=∠B，
∵∠ADF=∠EHC，
∴∠B=∠EHC，
∴AB∥EH，
∵OH∥AD，
∴△HMO∽△DMA；
（2）证明：∵OH∥AD，
∴$\frac{MO}{OA}$=$\frac{MH}{HD}$，
∵HC∥DF，
∴$\frac{MH}{HD}$=$\frac{MC}{CF}$，
∴$\frac{MO}{OA}$=$\frac{MC}{CF}$．

点评 本题考查了相似的综合题：熟练掌握相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理；解决本题的关键从复杂图形中找出平行线分线段成比例定理的基本图形．