Question

17．如图，△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，若动点P从点C开始，以每秒2个单位的速度按C→A→B→C的路径运动一周．设出发的时间为t秒．
（1）若t=2秒时，求△ABP的周长．
（2）若△BPC是直角三角形，请直接写出时间t的取值范围．
（3）是否存在某一时刻t，使得△BCP为等腰三角形？若存在，求出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由t=2可知点P在线段AC上，利用勾股定理可求得BP的长，则可求得△ABP的周长；
（2）过C作CP⊥AB于点P，可求得CP的长，则可求得AP的长，当点P在线段AC上时，可知满足条件，当CP⊥AB时也满足条件，从而可求得t的取值范围；
（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴有勾股定理得AB=10，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2个单位
∴出发2秒后，则CP=4，那么AP=4，
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得PB=2$\sqrt{13}$，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=4+10+2$\sqrt{13}$=14+2$\sqrt{13}$；

（2）如图，作CP⊥AB于P．

∵$\frac{1}{2}$•AB•CP=$\frac{1}{2}$•AC•BC，
∴CP=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴AP=$\sqrt{A{C}^{2}-P{C}^{2}}$=$\frac{32}{5}$，
∴当∠CPB=90°时，t=（8+$\frac{32}{5}$）÷2=$\frac{36}{5}$，
当点P在线段AC上时，∠PCB=90°，此时△PCB是直角三角形，
∴当0＜t≤4或t=$\frac{36}{5}$s时，△PCB是直角三角形．

（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；
如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）
（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4（秒））
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），
t=13÷2=6.5（秒）；
综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长与面积，三角形的中线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．