Question

如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BP、CP分别是∠EBC、∠FCB的平分线，且它们分别交于D、P．
（1）若∠A=30°，求∠BDC、∠BPC．
（2）不论∠A为多少时，探索∠D+∠P的值是变化还是不变化？为什么？

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义表示出∠DBC+∠DCB，然后在△BCD中利用三角形的内角和定理可得出∠BDP的度数；根据三角形的内角和定理及其推论以及角平分线的定义即可得出∠BPC的度数；
（2）根据（1）中∠D与∠P的式子即可得出结论．

解答：解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
在△BCD中，
∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）
=180°-（90°-

1

2

∠A）
=90°+

1

2

∠A
=90°+15°
=105°；
∵BP、CP分别是∠ABC与∠ACB的外角平分线，
∴∠CBP=

1

2

∠CBM，∠BCP=

1

2

∠BCN，
∴∠CBP+∠BCP
=

1

2

∠CBM+

1

2

∠BCN
=

1

2

（∠CBM+∠BCN）
=

1

2

（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=

1

2

（180°+∠A），
∴∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）
=180°-

1

2

（180°+∠A）
=90°-

1

2

∠A
=90°-

1

2

×30°
=75°．

（2）∠D+∠P的值不变．
∵由（1）知∠D=90°+

1

2

∠A，∠P=90°-

1

2

∠A，
∴∠D+∠P=180°．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．