Question

【题目】如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．

（1）求证：△AEM是等边三角形；

（2）若AE＝2，求△AEM的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得∠ABD＝30°，由直角三角形的性质可得AM＝EM，可得△AEM是等边三角形；

（2）由直角三角形的性质可求AD的长，即可求解．

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线，

∴∠ABD＝30°，且AE⊥AB，

∴∠AEB＝60°，

∵点M是BE中点，∠EAB＝90°，

∴AM＝EM，且∠AEB＝60°，

∴△AEM是等边三角形；

（2）∵△AEM是等边三角形，AC⊥BD，

∴∠EAD＝∠MAD＝30°，DE＝DN，AE＝EM＝2，

∴DE＝AE＝1，AD＝DE＝，

∴△AEM的面积＝×EM×AD＝×2×＝．