Question

8．如图，直线y=4-x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D．

（1）当点M在AB上运动时，则四边形OCMD的周长=8．
（2）当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a（0＜a≤4），在平移过程中，当平移距离a为多少时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分？

Answer 1

分析 （1）设OC=x，则CM=4-x．然后依据由三个角是直角的四边形是矩形，可证明四边形OCMD为矩形，则OCMN的周长=2（CO+CM）；
（2）当四边形为OCMD为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离．

解答 解：（1）设OC=x，则CM=4-x．
∵MC⊥OA，MD⊥OB，OD⊥OC，
∴四边形OCMD为矩形，
∴四边形OCMD的周长=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4-x）=2×4=8．
故答案为：8．
（2）∵当四边形为OCMD为正方形时，OC=CM，即x=4-x，解得：x=2，
∴S_{正方形OCMD的面积}=4．
∵正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分，
∴两部分的面积分别为1和3．
当0＜a≤2时，如图1所示：

∵直线AB的解析式为y=4-x，
∴∠BAO=45°．
∴△MM′E为等腰直角三角形．
∴MM′=M′E．
∴$\frac{1}{2}$MM′²=1．
∴MM′=$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$
当2＜a＜4时，如图2所示：

∵∠BAO=45°，
∴△EO′A为等腰直角三角形．
∴EO′=O′A．
∴$\frac{1}{2}$O′A²=1，解得：O′A=$\sqrt{2}$．
∵将y=0代入y=4-x得；4-x=0，解得；x=4，
∴OA=4．
∴OO′=4-$\sqrt{2}$，即a=4-$\sqrt{2}$．
综上所述，当平移的距离为a=$\sqrt{2}$或a=4$-\sqrt{2}$时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了一函数图象的点的坐标与函数解析式的关系、矩形的性质和判定、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，证得△MM′E、△EO′A是等腰直角三角形是解题的关键．