Question

如图所示，在直角坐标系中，矩形OBCD的边长OB=4，OD=2．
（1）P是OB上一个动点，动点Q在PB或其延长线上运动，OP=PQ，作以PQ为一边的正方形PQRS，点P从O点开始沿线段OB方向运动，直到点P与点B重合，设OP=x，正方形PQRS与矩形OBCD重叠部分的面积为y，写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）中，当x分别取1和3时，y的值分别是多少？
（3）已知直线l：y=ax-a经过一定点A，求经过定点A且把矩形OBCD的面积平均分成两部分的直线l的函数解析式．

Answer 1

解：（1）y=x²；（0≤x≤2）
y=-2x+8．（2＜x≤4）

（2）当x=1时，y=x²=1；
当x=3时，y=-2x+8=2．

（3）矩形OBCD的对角线交点的坐标为M（2，1），
把（2，1）代入y=ax-a得到a=1，
∴直线l的函数解析式为y=x-1．
分析：（1）本题要分两种情况．
①当RQ≤BC时，即当0≤x≤2时，重合部分是正方形PSRQ的面积，因此y=x²．
②当RQ＞BC时，即2＜x≤4时，重合部分是个矩形，且以（4-x）为长，以BC为宽，因此此时的函数关系为y=2（4-x）．
（2）由于（1）是分段函数，先根据x的值，确定所在的取值范围，然后代入所符合的函数关系式中求解即可．
（3）因为矩形OBCD是中心对称图形，且对称中心为对角线的交点，设为M．
所以经过对称中心M的直线可把矩形OBCD的面积平均分成相等的两部分．求出M （2，1），因为直线y=ax-a过M （2，1）易求解析式．
点评：本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了一次函数与二次函数的应用以及图形面积的求法．