Question

19．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点M是抛物线上一点，当△ABM的面积等于△ABC的面积时，求点M的坐标
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=$\frac{3}{4}$AB时，求∠CED的余切值；
②点G是直线x=1上一点，当△CEG与△AOC相似时，请直接写出点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点C（0，-3），求出抛物线解析式即可；
（2）分两种情形①过C作AB的平行线，交抛物线于M₁，此时△M₁AB与△ABC的面积相等．点C关于x轴的对称点C′（0，3），过C′作x轴的平行线，与抛物线交于点M₂，M₃，此时M₂，M₃也满足条件，
（3）①首先求出直线BC的解析式，进而得出D点坐标，进而得出EG和DG的长进而求出即可；根据相似三角形的相似条件画出图形即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{b}{2}$=1，
∴b=-2
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3，
∴抛物线的函数表达式为：y=x²-2x-3；

（2）如图1中，

∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）
①过C作AB的平行线，交抛物线于M₁，
此时△M₁AB与△ABC的面积相等．
根据对称性可知点M₁坐标为（2，-3），
②点C关于x轴的对称点C′（0，3），过C′作x轴的平行线，与抛物线交于点M₂，M₃，
此时M₂，M₃也满足条件，
对于抛物线y=x²-2x-3，
当y=3时，x²-2x-3=3，解得x=1$±\sqrt{7}$，
∴M₂（1-$\sqrt{7}$，3），M₂（1+$\sqrt{7}$，3）．
综上所述满足条件的点M坐标为（2，-3）或（1-$\sqrt{7}$，3）或（1+$\sqrt{7}$，3）．

（3）如图2中，

①∵AB=4，PQ=$\frac{3}{4}$AB，
∴PQ=3
∵PQ⊥y轴
∴PQ∥x轴，
则由抛物线的对称性可得PM=$\frac{3}{2}$，
∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是 $\frac{1}{2}$，
∴点P的横坐标为-$\frac{1}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{7}{4}$）
∴F（0，-$\frac{7}{4}$），
∴FC=3-OF=3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=$\frac{5}{2}$，
∵点D在直线BC上，
∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），
过点D作DG⊥CE于点G，
∴DG=1，CG=1，
∴GE=CE-CG=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$．
在Rt△EGD中，tan∠CED=$\frac{GD}{EG}$=$\frac{2}{3}$．

②如图3中，当△CEG与△AOC相似时，点E的坐标为（0，$\frac{1}{3}$） 或（0，0）或（0，-$\frac{8}{3}$）或（0，-$\frac{10}{3}$）或（0，-6）或（0，-$\frac{19}{3}$）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题型以及直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用直角三角形的性质得出a的值是解题关键，学会分类讨论的思想解决问题，注意最后一个问题答案比较多，考虑问题要全面，属于中考压轴题．