Question

5．如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴上，以A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；
（3）若⊙M的半径为1，圆心M在抛物线上运动，当⊙M与y轴相切时，求⊙M上的点到点C的最短距离．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，可得D点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，根据平行四边形的性质，可得AP=CD，可得P点坐标；
（3）根据圆与y轴相切，可得M点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得M点的坐标，根据勾股定理，可得CM的长，根据线段的和差，可得答案．

解答 解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
（2）当x=0时，y=-x²+2x+3=3，即C（0，3）．
CD∥AP，D点的纵坐标等于C点的坐标，得
D点的纵坐标为3．
当y=3时，-x²+2x+3=3，
解得x=0（不符合题意，舍），x=2，即D（2，3）．
CD的长为2-0=2．

如图1，
以AC为边的?APCD，得
AP=CD=2，-1+2=1，即P（1，0）；
如图2，
以AC为对角线的?APCD，得
AP=CD=2，-1-2=-3，即P（-3，0）；
综上所述：点P在x轴上，以A、P、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标（1，0）或（-3，0）；
（3）如图3，
⊙M的半径为1，圆心M在抛物线上运动，当⊙M与y轴相切时，得
M的横坐标为1，或-1．
①当x=1时，作M₁G⊥y轴于G点，y=-x²+2x+3=4，即M₁（1，4），G（0，4）．
CG=4-3=1，M₁G=1．
由勾股定理，得M₁C=$\sqrt{C{G}^{2}+G{{M}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
CE=CM₁-M₁E=$\sqrt{2}$-1；
②当x=-1时，y=-x²+2x+3=0，即M₂（-1，0）．
由勾股定理，得M₂C=$\sqrt{{M}_{2}{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
CF=M₂C-M₂F=$\sqrt{10}$-1；
∵$\sqrt{2}$-1＜$\sqrt{10}$-1，
⊙M上的点到点C的最短距离是$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边形的性质得出AP=CD是解题关键，要分类讨论，以防遗漏；利用圆与y轴相切得出M点的横坐标是解题关键，又利用了勾股定理．