Question

19．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上，∠OAB=90°且OA=AB，OB=6，OC=5．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），以每秒1个单位的速度由点O向点B运动，过点P的直线a与y轴平行，直线a交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P运动时间为t，线段QR的长度为m，已知t=4时，直线a恰好过点C．
①当0＜t＜3时，求m关于t的函数关系式；
②点P出发时点E也从点B出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点P停止时点E也停止．设△QRE的面积为S，求S与t的函数关系式；
③直接写出②中S的最大值是5．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题；
（2）首先求出直线OA、OB、OC、BC的解析式．①求出P、Q的坐标即可解决问题；
②分三种情形分别求解即可解决问题；
③利用②中的函数，利用配方法求出最值即可；

解答 解：（1）由题意△OAB是等腰直角三角形，
∵OB=6，
∴A（3，3），B（6，0）．

（2）∵A（3，3），B（6，0），
∴直线OA的解析式为y=x，直线AB的解析式y=-x+6，
∵t=4时，直线a恰好过点C，OC=5，
∴C（4，-3），
∴直线OC的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x，直线BC的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-9，
①当0＜t＜3时，Q（t，t），R（t，-$\frac{3}{4}$t），
∴m=t+$\frac{3}{4}$t=$\frac{7}{4}$t．

②当0＜t＜3时，S=$\frac{1}{2}$PE•QR=$\frac{1}{2}$•（6-2t）•$\frac{7}{4}$t=-$\frac{7}{4}$t²+$\frac{21}{4}$t，
当3＜t＜4时，S=$\frac{1}{2}$•PE•QR=$\frac{1}{2}$（2t-6）•（-t+6+$\frac{3}{4}$t）=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{27}{4}t$-18，
当4≤t＜6时，S=$\frac{1}{2}$•PE•QR=$\frac{1}{2}$（2t-6）（-t+6-$\frac{3}{2}$t+9）=-$\frac{5}{2}$t²+$\frac{45}{2}$t-45．

③当0＜t＜3时，∵S=-$\frac{7}{4}$t²+$\frac{21}{4}$t=-$\frac{7}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{16}$，∴t=$\frac{3}{2}$时，S的最大值为$\frac{63}{16}$．
当3＜t≤4时，∵S=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{27}{4}t$-18=-$\frac{1}{4}$（t-$\frac{27}{2}$）²+$\frac{1}{4}$×$\frac{2{7}^{2}}{4}$-18，∴t=4时，S的值最大，最大值为5．
当4≤t＜6时，S=-$\frac{5}{2}$t²+$\frac{45}{2}$t-45=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{35}{8}$，∴t=$\frac{9}{2}$时，S的最大值为$\frac{35}{8}$，
综上所述，t=4时，S的值最大，最大值为5，
故答案为5．

点评 本题考查四边形综合题、一次函数的应用、二次函数的应用、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数或二次函数解决实际问题，属于中考压轴题．