Question

2．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，证明：PG=$\sqrt{3}$PC．
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）延长GP，交CD于点H，只要证明∴△DPH≌△FGP（AAS），再证明CH=CG，即可解决问题．
（2）思路同上，延长GP交AD于点H，连接CH，CG，本题中除了如（1）中证明△GFP≌△HDP（得到P是HG中点）外还需证明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．

解答 解：（1）延长GP，交CD于点H，
∵四边形ABCD与△BGF是等边三角形，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠FGB=60°
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是线段DF的中点，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PDH=∠PFG}\\{∠DHP=∠PGF}\\{DP=PF}\end{array}\right.$，
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴PG=$\sqrt{3}$PC；

（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图（2），延长GP交AD于点H，连接CH，CG，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
∵AD∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD=BG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠GBFF=60°，
∴∠HDC=∠GBC=60°，
∵DH=BG，∠HDC=∠GBC，DC=BC，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG∠HCD=∠GCB，
∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°，
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB，
∴∠HCG=120°，
∴∠GCP=60°，
∴$\frac{PG}{PC}$=tan∠GCP=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴PG=$\sqrt{3}$PC．

点评 本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于参考常考题型．