Question

4．已知点A是双曲线y=$\frac{2}{x}$在第一象限上的动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边三角形ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（　　）

• A． y=-$\frac{2}{x}$（x＜0）
• B． y=-$\frac{4}{x}$（x＜0）
• C． y=-$\frac{6}{x}$（x＜0）
• D． y=-$\frac{8}{x}$（x＜0）

Answer 1

分析 设点A的坐标为（a，$\frac{2}{a}$），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，继而得出y与x的函数关系式．

解答 解：过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，
设A（a，$\frac{2}{a}$），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
则B（-a，-$\frac{2}{a}$）
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{2}{a}）^{2}}$，
∴CO=$\sqrt{3}$×$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{2}{a}）^{2}}$=$\sqrt{3{a}^{2}+\frac{12}{{a}^{2}}}$，
∵∠BOD+∠COD=∠COD+∠OCD=90°，
∴∠BOD=∠OCD，
设点C的坐标为（x，y），则tan∠BOD=tan∠OCD，即$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{-x}{y}$，
解得：y=-$\frac{{a}^{2}}{2}$x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+$\frac{12}{{a}^{2}}$，
将y=-$\frac{{a}^{2}}{2}$x代入，得（$\frac{{a}^{4}+4}{4}$）x²=3（$\frac{{a}^{4}+4}{{a}^{2}}$），
解得：x²=$\frac{12}{{a}^{2}}$，
故x=$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，y=-$\sqrt{3}$a，
则xy=-6，
故可得：y=-$\frac{6}{x}$（x＞0）．
故选C．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．