Question

【题目】如图，抛物线y=与x轴、y轴交于A、B两点，将△OAB绕点B逆时针旋转90°后得到△O′A′B，点O落到点O′的位置，点A落到点A′的位置．

(1)求点O′和点A′的坐标；

(2)将抛物线沿y轴方向平移后经过点A′，求平移后所得抛物线对应的函数关系式；

(3)设(2)中平移后所得抛物线与y轴的交点为C，与x轴的交点为D，点M在x轴上，点N在平移后所得抛物线上，求出以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形时点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）O′(2，2)，A′(2，1)；（2）；（3）(2，1)，（3，-1）和（-1，-1）．

【解析】

（1）先求出抛物线与x轴和y轴的交点A（-1，0），B（0，2），再利用旋转的性质得BO′=BO=2，O′A′=OA=1，∠OBO′=90°，∠BO′A′=∠BOA=90°，然后利用第一象限点的坐标特征写出点O′和点A′的坐标；
（2）先判断点O′在抛物线上，利用抛物线沿y轴方向平移后经过点A′得到把抛物线向下平移1个单位，然后利用抛物线的平移规律写出平移后的抛物线解析式；
（3）先确定C（0，1），利用平行四边形的性质得CD∥MN，讨论：当N点在x轴上方的抛物线上时，CN∥DM，此时N点的纵坐标为1，N点与A′点重合，N点坐标为（2，1）；当N点在x轴下方的抛物线上时，DN∥CM，则点C和点N到x轴的距离相等，N点的纵坐标为-1，则解方程得此时N点坐标．

解析（1）当y=0时，，解得x=-1,x=3，则A（-1，0），

当x=0时，y=2，则B(0，2)，

∵△OAB绕点B逆时针旋转90°后得到△O′A′B．

∴BO′=BO=2,O′A′=OA=1，∠OBO′=90°，∠BO′A′=∠BOA= 90°,

∴O′(2，2)，A′(2，1).

(2)∵当x=2时，，

∴点O′在抛物线上，

∵抛物线沿y轴方向平移后经过点A′，

∴把抛物线向下平移1个单位，

∴平移后的抛物线解析式为．

(3)当x=0时，，则C(0，1)，

∵以点C、D、M、N为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形．

∴CD//MN，

当N点在x轴上方的抛物线上时，CN//DM，

此时N点的纵坐标为1，N点与A′点重合，N点坐标为(2，1);

当N点在x轴下方的抛物线上时，DN∥CM，则点C和点N到x轴的距离相等，则N点的纵坐标为-1，

当y=-1时，，解得x=3，x=-1，

此时N点坐标为(3，-1)或（-1，-1）．

综上所述，满足条件的N点坐标有(2，1)，（3，-1）和（-1，-1）．