Question

（2007•郑州模拟）如图，已知直线y=-x+2与坐标轴交于A、B两点，点P在x轴上．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）圆⊙P半径r=

2

，当⊙P与直线AB相切时，求圆心P的坐标；
（3）当⊙P与直线AB相切时，恰有一条顶点坐标为C（2，2）的抛物线y=ax²+bx+c经过圆心P，若该抛物线与x轴的两个交点中右边的交点为M，在x轴上方同时也在直线AB上方的抛物线上是否存在一点Q，使四边形ABMQ的面积最大？若存在，请求出这个最大面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）直线AB的解析式中，令x=0，可求得点A的坐标；令y=0，可求得点B的坐标．
（2）由于点P的位置不确定，那么需要考虑两种情况：①点P在直线AB左侧、②点P在直线AB右侧；解题的方法大致相同，过圆心作直线AB的垂线，在构建的直角三角形中，根据圆的半径和直角三角形中的特殊角，即可确定圆心P的坐标．
（3）首先利用待定系数法确定抛物线的解析式，进而用未知数表示点M的坐标；由图可知：四边形ABMQ的面积可由四边形AOMQ和△ABO的面积差求得，由此得到关于四边形ABMQ的面积和M点横坐标的函数关系，由函数的性质可判断四边形ABMQ是否存在最大面积．

解答：解：（1）当x=0时，y=2；当y=0时，x=2．
所以A（0，2），B（2，0）．

（2）当⊙P从左向右运动时⊙P与直线AB有两种相切情况．
第一种情况：如图，当⊙P在直线AB的左侧与直线AB相切时，过切点D₁作D₁P₁⊥x轴于P₁，
在Rt△D₁P₁B中，∠OBD₁=45°，D₁P₁=

2

．
所以BP₁=2，恰好P₁与O点重合，坐标为（0，0）． 
第二种情况：如图，当⊙P在直线AB的右侧与直线AB相切时，过切点D₂作D₂P₂⊥x轴与P₂，
在Rt△D₂P₂B中，∠P₂BD₂=45°，D₂P₂=

2

，
所以BP₂=2，OP₂=4，即P点的坐标为（4，0）．

（3）如图（3）抛物线y=ax²+bx+c过原点O，且顶点坐标为（2，2）．
可设y=a（x-2）²+2，当x=0时y=0，
求得a=-

1

2

，所以y=-

1

2

x²+2x．
设在x轴上方的抛物线上存在点Q使四边形ABMQ的面积最大，点Q坐标为（m，-

1

2

m²+2m），连接OQ，由题意得
S_{四边形ABMQ}=S_△AOQ+S_△OMQ-S_△AOB
=

1

2

m×2+

1

2

×4×（-

1

2

m²+2m）-

1

2

×2×2
=-m²+5m-2=-（m-

5

2

）²+

17

4

．
当m=

5

2

时，S_{四边形ABMQ}的最大值为

17

4

．
经检验，点Q（

5

2

，

15

8

）在直线AB上方，所以，在x轴上方同时也在直线AB上方的抛物线上存在点Q使四边形ABMQ的面积最大，S_{四边形ABMQ}的最大值为

17

4

．

点评：该题考查了函数解析式的确定、圆与直线的位置关系、图形面积的解法等综合知识．（2）题在解答时，P点的两种位置是容易被忽视的地方．