Question

【题目】如图，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．
（1）求证：CF=CH；
（2）△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，证明：四边形ACDM是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△ACB和△ECD中，

∵∠ACB=∠ECD=90°，

∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB，

∴∠1=∠2；

又∵AC=CE=CB=CD，

∴∠A=∠D=45°；

在△CFA和△CHD中，

∵ ，

∴△CFA≌△CHD（AAS），

∴CF=CH

（2）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，

∴∠1=45°，∠2=45°．

又∵∠E=∠B=45°，

∴∠1=∠E，∠2=∠B，

∴AC∥MD，CD∥AM，

∴四边形ACDM是平行四边形，

又∵AC=CD，

∴平行四边形ACDM是菱形

【解析】（1）先根据直角三角形的性质得出∠1=∠2，再由AAS定理得出△CFA≌△CHD，进而可得出结论；（2）根据∠BCE=45°得出∠1=∠2=45°．根据∠E=∠B=45°得出∠1=∠E，∠2=∠B，故可得出四边形ACDM是平行四边形，再由AC=CD即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了菱形的判定方法和旋转的性质的相关知识点，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．