【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α°.得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)用α表示∠ACE的度数;
(3)若使四边形ABFE是菱形,求α的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)∠ACE==90°﹣;(3)120°.
【解析】
(1)根据旋转角求出∠BAD=∠CAE,然后利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等;
(2)根据等腰三角形的性质得到结论;
(3)根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=90°﹣,求得∠BFE=150°,若使四边形ABFE是菱形,只要四边形ABFE是平行四边形即可,得到∠BAE=∠BFE,于是得到结论.
解:(1)证明:∵ABC绕点A按逆时针方向旋转α°,
∴∠BAC=∠DAE=30°,∠BAD=∠CAE=α°,
又∵AB=AC,
∴AB=AC=AD=AE,
在△ABD与△ACE中,,
∴△ABD≌△ACE(SAS);
(2)解:∵∠CAE=α°,AC=AE,
∴∠ACE=(180°﹣∠CAE)=(180°﹣α°)=90°﹣;
(3)解:∵∠BAD=∠CAE=α°,AB=AC=AD=AE,
∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=90°﹣,
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=α°+30°=(α+30)°,
∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=360°﹣(α+30)°﹣2(90°﹣)=150°,
∵AB=AE,
∴若使四边形ABFE是菱形,
只要四边形ABFE是平行四边形即可,
∵∠ABD=∠AEC,
∴只要∠BAE=∠BFE,
即(30+α)°=150°,
解得:α°=120°,
即当α°=120°时,四边形ABFE是菱形.
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【题目】如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD交OE边于点F.
(1)求证:△DOE∽△ABC;
(2)求证:∠ODF=∠BDE;
(3)连接OC.设△DOE的面积为S.sinA=,求四边形BCOD的面积(用含有S的式子表示)
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【题目】如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,CE 平分∠ACB,点 D 在 CE的延长线上,连接 BD,过B作BF⊥BC交 CD 于点 F,连接 AF,若CF=2BD ,DE:CE=5:8 , BF ,则AF的长为_________.
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【题目】疫情期间,“线上教学”为我们提供了复习的渠道.学校随机抽取部分学生就“你是否喜欢线上教学”进行了问卷调查,并将调查结果统计后绘制成如下统计表和统计图.
调查结果统计表
类别 | 非常喜欢 | 喜欢 | 一般 | 不喜欢 |
频数 | a | 70 | 20 | 10 |
频率 | 0.5 | b | 0.15 |
调查结果扇形统计图
(1)在统计表中,a= ;b= ;
(2)在扇形统计图中,对线上教学感觉“一般”所对应的圆心角度数为 ;
(3)已知全校共有3000名学生,试估计“喜欢”线上教学的学生人数.
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【题目】有一边长为10m的等边△ABC游乐场,某人从边AB中点P出发,先由点P沿平行于BC的方向运动到AC边上的点P1,再由P1沿平行于AB方向运动到BC边上的点P2,又由点P2沿平行于AC方向运动到AB边上的点P3,则此人至少要运动_____m,才能回到点P.如果此人从AB边上任意一点出发,按照上面的规律运动,则此人至少走_____m,就能回到起点.
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【题目】对于平面直角坐标系中的图形,,给出如下定义:为图形上任意一点,为图形上任意一点,如果线段的长度有最小值,那么称这个最小值为图形,的“近距”,记作;如果线段的长度有最大值,那么称这个最大值为图形,的“远距”,记作.
已知点,.
(1)(点,线段)______,(点,线段)______;
(2)一次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,若(线段,线段),
①求的值;
②直接写出(线段,线段)______;
(3)的圆心为,半径为1.若(线段),请直接写出(,线段)的取值范围.
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【题目】如图1,直角三角形的直角顶点在矩形的对角线上(点不与点重合,可与点重合),满足,于点,已知,.
(1)若,则___________;
(2)当点在的平分线上时,求的长;
(3)当点的位置发生改变时:
①如图2,的外接圆是否与一直保持相切.说明理由;
②直接写出的外接圆与相切时的长.
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是D,AE平分∠BAD,交BC于点E.在△ABC外有一点F,使FA⊥AE,FC⊥BC.
(1)求证:BE=CF;
(2)在AB上取一点M,使BM=2DE,连接MC,交AD于点N,连接ME.求证:①ME⊥BC;②DE=DN.
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