【题目】如图,直线y=3x与双曲线y=相交于点A,B,点C的坐标是(-4,0),且AO=AC.
(1)求双曲线的解析式.
(2)已知A、B两点关于原点对称,求△ABC的面积.
【答案】(1)y=;(2)24.
【解析】
(1)根据题意求得A的横坐标,然后代入直线的解析式即可求得纵坐标,把A的坐标代入y=,即可求得双曲线的解析式;(2)求得B点的坐标,然后由S△ABC=S△AOC+S△BOC求得即可.
(1)作AM⊥OC于M,
∵点C的坐标是(﹣4,0),
∴OC=4,
∵AO=AC,
∴OM=CM=2,
∴A点的横坐标为﹣2,
∵点A在直线y=3x上,
∴A(﹣2,﹣6),
∵直线y=3x与双曲线y=相交于点A,
∴k=﹣2×(﹣6)=12,
∴双曲线的解析式为y=;
(2)∵A、B两点关于原点对称,A(﹣2,﹣6),
∴B(2,6),
∴S△ABC=S△AOC+S△BOC=×4×6+
×4×6=24.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx-3经过(-1,0),(3,0)两点,与y轴交于点C,直线y=kx与抛物线交于A,B两点.
(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式;
(2)当原点O为线段AB的中点时,求k的值及A,B两点的坐标;
(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,MN是半径为2的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°,点B为劣弧AN的中点.点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
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【题目】国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求,若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范国,每套产品的售价不低于90万元,生产总成本不高于1250万元,已知这种设备的月产量x(套)与每套产品的售价y1(万元)之间满足关系式y1=130﹣x,月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系.
(1)求出y2与x之间的函数关系式,并求月产量x的范围;
(2)当月产量x(套)为多少时,这种设备的利润W(万元)最大?最大利润是多少?
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【题目】若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.
(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;
(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4,求此“路线”L的解析式;
(3)当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.
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【题目】如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC.点D是线段AC上一点,连接BD.过点C作CE⊥BD于点E.点F是AB垂直平分线上一点,连接BF、EF.
(1)若AD=4,tan∠BCE=
,求AB的长;
(2)当点F在AC边上时,求证:∠FEC=45°.
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【题目】如图,E、F分别是 四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,记S1=S△APD,S2=S△BQC,四边形EQFP的面积为S.
(1)若四边形ABCD为平行四边形,如图1,求证:S=S1+S2;
(2)若四边形ABCD为一般凸多边形,AB∥CD,如图2,求证:S=S1+S2.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A、B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段DC的长;
(2)当点Q与点C重合时,求t的值;
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.
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