Question

16．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE．下列结论中，正确的结论有（　　）
①CE=BD；
②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；
④S_{四边形BCDE}=$\frac{1}{2}$BD•CE；
⑤BC²+DE²=BE²+CD²．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC²+DE²，BE²+CD²，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC=90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误．

解答 解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，故①正确；
∠ABD=∠ACE，
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
∴S_{四边形BCDE}=$\frac{1}{2}$BD•CE，故④正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC²=BG²+CG²，
在Rt△DEG中，DE²=DG²+EG²，
∴BC²+DE²=BG²+CG²+DG²+EG²，
在Rt△BGE中，BE²=BG²+EG²，
在Rt△CDG中，CD²=CG²+DG²，
∴BE²+CD²=BG²+CG²+DG²+EG²，
∴BC²+DE²=BE²+CD²，故⑤正确；
只有AE∥CD时，∠AEC=∠DCE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，
无法说明AE∥CD，故②错误；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故③错误；
综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．
故选C

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．