Question

如图，一次函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P，Q分别从A、B两点同时出发，以相等的速度作直线运动．已知点P沿射线AO运动，点Q沿线段OB的延长线运动，PQ与AB的所在直线相交于点D．
（1）若AP=1时，请验证D点是否是线段AB的中心；
（2）若AP=x，△PQB的面积为y，请直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）过P作PE⊥AB于E，有人认为当P、Q运动时，线段DE的长度始终保持不变，你认为正确吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）当AP=1时，D不是线段AB的中点，
理由是：∵一次函数y=-x+2交x轴于A，交y轴于B，
∴把x=0代入得：y=2，
把y=0代入得：x=2，
∴OA=OB=2，
∵AP=BQ=1，
∴OP=2-1=1，OQ=2+1=3，
则Q（0，3），P（1，0），
设直线PQ的解析式是y=kx+3，
把P的坐标代入得：0=k+3，
k=-3，
∴y=-3x+3，
即，
解得：x=，y=，
即D的坐标是（，），
过D作DH⊥OA于H，
则DH=，OH=，AH=2-=，
∴OH和AH不相等（H不是OA中点），
∴D不是AB中点；

（2）①当0≤x≤2时，
∵AP=x，OP=2-x，BQ=x，
∴y=BQ×OP=x（2-x）=-x²+x；
②当x＞2时，
∵AP=x，OP=x-2，BQ=x，
∴y=BQ×OP=x（x-2）=x²-x；
即y与x的函数关系式是y=；

（3）正确，DE的长度为定值，且DE=AB=，
理由是：过P作PF∥OB交AB于F，
∵OA=OB=2，x轴⊥y轴，
∴由勾股定理得：AB=2，
且△AOB，△APE，△FPA都是等腰直角三角形，
∵PE⊥AF，
∴E为AF中点，
∵PF=AP，AP=BQ，
∴BQ=PF，
∵PF∥OB，
∴∠BQD=∠FPD，
∵在△QBD和△PFD中
，
∴△QBD≌△PFD（AAS），
∴BD=DF，
∴DE=DF+FE=BF+AF=AB=，
当P在原点的左侧解题过程类似，
即当P、Q运动时，线段DE的长度始终保持不变，正确．
分析：（1）求出P、Q的坐标，求出直线PQ的解析式，求出两直线的交点坐标，根据交点坐标即可得出答案；
（2）分为两种情况：①当0≤x≤2时，②当x＞2时，求出OP和BQ，根据三角形的面积公式求出即可；
（3）过P作PF∥OB交AB于F，得出△AOB、△PEA、△APF都是等腰直角三角形，求出E为AF中点，证△QBD≌△FPD，求出D为BF中点，即可求出答案．
点评：本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，一次函数图象上点的坐标等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．