Question

【题目】是一张等腰直角三角形纸板，，，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第次剪取；在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取（如图）；继续操作下去…；第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，可求得S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=4，同理可得规律：Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案．

∵四边形ECFD是正方形，

∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，

∴AE=DE=EC=DF=BF=EC=CF，

∵AC=BC=4，

∴DE=DF=2，

∴S△AED+S△DBF=S正方形ECFD=S1=4，

同理：S2即是第二次剪取后剩余三角形面积和，Sn即是第n次剪取后剩余三角形面积和，

∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：8-S1=4=22=S1，

第二次剪取后剩余三角形面积和为：S1-S2=4-2=21=S2，

第三次剪取后剩余三角形面积和为：S2-S3=20=S3，

…

第n次剪取后剩余三角形面积和为：Sn-1-Sn=Sn=，

故第64次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是：．

故答案为：．