Question

24、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形．

Ⅰ．若点C在ED的延长线上，点A在边GD上，求证：CG⊥AE；
Ⅱ．以Ⅰ的图形为基础，若以D为旋转中心，将正方形ABCD按逆时针旋转一定角度，得到下面的图形，认真观察这个图形，猜想AE与CG有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？并证明你的猜想．

Answer 1

分析：Ⅰ．AD=CD，ED=GD，∠ADE=∠GDC=90°根据SAS可证△EAD≌△GCD，进而AE=CG．
延长EA交CG于H，可得∠CGD+∠GAH=90°，即AE⊥CG．
Ⅱ．CD=AD，GD=ED，∠ADE=90+∠GDA=∠CDG，可证△EAD≌△GCD，于是可得AE=CG，垂直的证明可参看Ⅰ．

解答：解：Ⅰ．由题意得AD=CD，ED=GD，∠ADE=∠GDC=90°
∴根据SAS可证△EAD≌△GCD；
延长EA交CG于H，由Ⅰ．
得∠CGD+∠GAH=∠CGD+∠EAD=∠CGD+∠GCD=90°
∴AE⊥CG；
Ⅱ．猜想：AE=CG；AE⊥CG．
由题意得CD=AD，GD=ED，∠ADE=90+∠GDA=∠CDG
∴△EAD≌△GCD
∴AE=CG，∠CGD=∠AED
∵∠AED+∠EOD=90°，
∴∠CGD+∠EOD=90°，
∵∠EOD=∠GOH，
∴∠CGO+∠GOH=∠CGO+∠EOD=∠AED+∠EOD=90°，
∴AE⊥CG．
因为ABCD，DEFG都是正方形
所以AD=CD，DE=DG，∠ADC=EDG=90°
所以∠ADC+∠CDE=EDG+∠CDE
即∠ADE=∠CDG
所以△ADE≌△CDG（边角边相等）
所以AE=CG．

点评：本题主要考查了旋转的性质，以及垂直的判定，关键在于找三角形全等的条件，注意运用自己已证明的结论．