Question

【题目】如图：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线，点O在AB上，⊙O经过B，D两点，交BC于点E。

（1）试说明：AC是⊙O的切线；

（2）若BC＝6，tan∠A＝，求⊙O的半径。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）⊙O的半径为 .

【解析】

（1）连接DO，由等腰三角形的性质和角平分线的定义得出∠ODB＝∠CBD，证出DO∥BC，由平行线的性质得出OD⊥AC，即可得出结论；

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据三角函数的定义得到AC＝8，AB=10，根据相似三角形的性质即可求出R＝．

解：（1）如图，连接OD，

∵⊙O经过B，D两点，

∴OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠OBD＝∠CBD，

∴∠ODB＝∠CBD，

∴OD∥BC，

∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC，

∴OD⊥AC．又OD是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）设圆O半径为R，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∵BC＝6，tan∠A＝，

∴AC＝8，AB=10,

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC，

∴，即，

解得：R＝，

∴⊙O的半径为.