Question

（2010•保定一模）如图，A、B、C分别表示面积为9、10、11的三个圆．已知三个圆所覆盖的总面积为20．A与B、B与C、C与A每两圆公共部分所覆盖面积分别为5、4、3，求A、B、C三个圆公共部分所覆盖的面积．

探索发现：
我们把三个圆所覆盖的总面积记为A∨B∨C；每两圆公共部分所覆盖的面积记为AB、BC、CA；三个圆公共部分所覆盖的面积记为ABC．根据题意，有：
（1）三个圆的面积和为：A+B+C=

30

；
（2）重合部分覆盖的面积为（A+B+C）-A∨B∨C=

10

；
（3）每两圆公告部分所覆盖的面积和为：AB+BC+CA=

12

；
（4）三个圆公共部分所覆盖的面积：ABC=

2

．
总结归纳：
利用上题中规定的符号和解答过程，补全等式：ABC=

AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）

．
利用上述方法得到的启示，解决下面的问题：
某年级共有74名学生参加课外小组．其中，参加球类的有34人，参加棋类的有32人，参加田径类的有30人；既参加球类又参加棋类的有7人，既参加棋类又参加田径类的有8人，既参加田径类又参加球类的有10人．求三个小组都参加的人数．

Answer 1

分析：（1）根据A、B、C分别表示面积为9、10、11的三个圆，即可得出面积总和；
（2）利用三个圆所覆盖的总面积为20，即可得出重合部分覆盖的面积；
（3）根据A与B、B与C、C与A每两圆公共部分所覆盖面积分别为5、4、3，即可求出总和；
（4）根据重合部分覆盖的面积-每两圆公告部分所覆盖的面积和=三个圆公共部分所覆盖的面积，再利用所求数据得出ABC=AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）；
仿照以上作法用3个圆分别表示参加球类、棋类和田径类小组的人数，即可得出答案．

解答：解：（1）∵A、B、C分别表示面积为9、10、11的三个圆．
∴三个圆的面积和为：A+B+C=9+10+11=30；

（2）∵三个圆所覆盖的总面积为20，
∴重合部分覆盖的面积为（A+B+C）-A∨B∨C=30-20=10；

（3）∵A与B、B与C、C与A每两圆公共部分所覆盖面积分别为5、4、3，
∴每两圆公告部分所覆盖的面积和为：AB+BC+CA=5+4+3=12，

（4）∵重合部分覆盖的面积-每两圆公告部分所覆盖的面积和=三个圆公共部分所覆盖的面积，
∴三个圆公共部分所覆盖的面积：ABC=12-10=2，
∴ABC=AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）；
用3个圆分别表示参加球类、棋类和田径类小组的人数，分别记为A、B、C，
用AB表示同时参加球类和棋类的人数，用BC表示同时参加棋类和田径类的人数，用CA表示同时参加田径类和球类的人数，
ABC表示同时参加三个小组的人数，A∨B∨C表示年级参加课外小组的总人数，
根据题意得出：A=34，B=32，C=30，AB=7，BC=8，CA=10，A∨B∨C=74，
根据：ABC=AB+BC+CA+A∨B∨C-（A+B+C）=7+8+10+74-（34+32+30）=3（人）．

点评：此题主要考查了相交两圆的性质以及规律性问题应用，根据已知得出个部分面积之和，发现存在规律是解题关键．