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20.在平面直角坐标系xOy中,已知反比例函数y=$\frac{2k}{x}$(k≠0)满足:当x<0时,y随x的增大而减小.若该反比例函数的图象与直线y=-x+$\sqrt{3}$k都经过点P,且|OP|=4$\sqrt{2}$,则实数k的值为4.

分析 根据反比例函数的性质求得k的范围,根据点在反比例函数图象上,设P的横坐标是m,则纵坐标是$\frac{2k}{m}$.然后根据点P在直线上以及OP=4$\sqrt{2}$即可列方程组,求得k的值.

解答 解:∵反比例函数y=$\frac{2k}{x}$(k≠0)满足:当x<0时,y随x的增大而减小,
∴2k>0,则k>0.
设P的横坐标是m,则纵坐标是$\frac{2k}{m}$.
根据题意得:$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2k}{m}=-m+\sqrt{3}k…①}\\{{m}^{2}+(\frac{2k}{m})^{2}=32…②}\end{array}\right.$.
由①得m+$\frac{2k}{m}$=$\sqrt{3}$k.
则(m+$\frac{2k}{m}$)2=3k2,即m2+($\frac{2k}{m}$)2+4k=3k2-4k…③.
把③代入②得3k2-4k=32,
解得:k=4或-8(舍去).
故答案是:4.

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的图象的交点,正确列出方程组,利用完全平方公式化成关于k的方程是关键.

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