Question

【题目】如图1，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E．

（1）求证：△ACF≌△CBE；

（2）将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE．若AB=，∠CBE=30°，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）根据垂直的定义得到∠BEC=∠ACB=90°，根据全等三角形的性质得到∠EBC=∠CAF，即可得到结论；

（2）连接CD，DF，证得△BCE≌△ACF，根据全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，证得△DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=DE，EF=CE+BE，进而得到DE的长．

试题解析：解：（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．

在△BCE与△ACF中，∵，∴△ACF≌△CBE（AAS）；

（2）如图2，连接CD，DF．∵BE⊥CE，∴∠BEC=∠ACB=90°，∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，∴∠EBC=∠CAF．∵AF⊥l于点F，∴∠AFC=90°．

在△BCE与△CAF中，∵，∴△BCE≌△CAF（AAS）；

∴BE=CF．∵点D是AB的中点，∴CD=BD，∠CDB=90°，∴∠CBD=∠ACD=45°，而∠EBC=∠CAF，∴∠EBD=∠DCF．在△BDE与△CDF中，∵，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠EDB=∠FDC，DE=DF．∵∠BDE+∠CDE=90°，∴∠FDC+∠CDE=90°，即∠EDF=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF=DE，∴EF=CE+CF=CE+BE．∵CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，∴BC=4．又∵∠CBE=30°，∴CE=BC=2，BE=CE=2，∴EF=CE+BE=2+2，∴DE===+．