【题目】(8分)如图,在ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是正三角形.
(1)求证:AE=AF;
(2)求∠EAF的度数.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)60°.
【解析】
试题(1)根据平行四边形的性质得到∠BAD=∠BCD=120°,∠ABC=∠ADC,AB=CD,BC=AD,根据等边三角形的性质得到BE=BC,DF=CD,∠EBC=∠CDF=60°,即可证出∠ABE=∠FDA,AB=DF,BE=AD,由SAS证明△ABE≌△FDA,得出对应边相等即可;
(2)根据全等三角形的性质得到∠AEB=∠FAD,求出∠AEB+∠BAE=60°,得出∠FAD+∠BAE=60°,即可得出∠EAF的度数.
试题解析:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD=120°,∠ABC=∠ADC,AB=CD,BC=AD,∵△BCE和△CDF都是正三角形,∴BE=BC,DF=CD,∠EBC=∠CDF=60°,∴∠ABE=∠FDA,AB=DF,BE=AD,在△ABE和△FDA中,∵AB=DF,∠ABE=JIAO FDA,BE=AD,∴△ABE≌△FDA(SAS),∴AE=AF;
(2)∵△ABE≌△FDA,∴∠AEB=∠FAD,∵∠ABE=60°+60°=120°,∴∠AEB+∠BAE=60°,∴∠FAD+∠BAE=60°,∴∠EAF=120°﹣60°=60°.
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【题目】在结束了380课时初中阶段教学内容的教学后,王老师计划按原课程设置再增加70课时用于总复习,将380课时按内容所占比例,绘制如下统计图表(图1、图2),请根据图表提供的信息,回答问题:
(1)图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度;
(2)图2中的a= ;
(3)在70课时的总复习中,王老师应安排多少课时复习图形与几何内容?
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【题目】(10分)如图下图所示,已知AB//CD, ∠B=30°,∠D=120°;
(1)若∠E=60°,则∠E=______;
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系?说明理由.
(3)如下图所示,已知EP平分∠BEF,FG平分∠EFD,反向延长FG交EP于点P,求∠P的度数;
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【题目】科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):
温度 /℃ | …… | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 4.5 | …… |
植物每天高度增长量 /mm | …… | 41 | 49 | 49 | 41 | 25 | 19.75 | …… |
这些数据说明:植物每天高度增长量 关于温度 的函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)你认为是哪一种函数,并求出它的函数关系式;
(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.
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【题目】如图,正方形ABCD的面积为12,△ABC是等边三角形,点E在正方形ABCD内,对角线AC上有一点P使PE+PD的和最小,这个最小值为( )
A. B. C. 3 D.
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【题目】将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠,使点C与A重合,点D落到D′处,折痕为EF.
(1)求证:△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形?证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的.连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF.
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
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【题目】某段公路经测算发现,匀速行驶的车辆通过该段公路时,所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足反比例函数关系,其图象为如图所示的一段曲线.且端点为A(40,1)和B(m,0.5).
(1)求t与v的函数关系式及m的值;
(2)若该段公路限速50km/h,求通过该路段需要的最短时间和这段公路的长.
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