在等腰直角三角形ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.直线MN过点A且MN∥BC.过点B为一锐角顶点作Rt△BDE.∠BDE=90°.且点D在直线MN上.如图1.DE与AC交于点P.易证:BD=DP．(1)在图2中.DE与CA延长线交于点P.BD=DP是否成立?如果成立.请给予证明,如果不成立.请说明理由,(2)在图3中.DE与AC延长线交于点P.BD与DP是否相等?请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）
（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,平行四边形的性质

专题：几何综合题

分析：（1）如答图2，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP；
（2）如答图3，作辅助线，构造全等三角形△BDF≌△PDA，可以证明BD=DP．

解答：题干引论：
证明：如答图1，过点D作DF⊥MN，交AB于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．

∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，

∠1=∠2

DF=DA

∠DFB=∠DAP=135°

∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．

（1）答：BD=DP成立．
证明：如答图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．

∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，
∴∠1=∠2．
在△BDF与△PDA中，

∠1=∠2

DF=DA

∠DFB=∠DAP=45°

∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．

（2）答：BD=DP．
证明：如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，
则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．

在△BDF与△PDA中，

∠F=∠PAD=45°

DF=DA

∠BDF=∠PDA

∴△BDF≌△PDA（ASA）
∴BD=DP．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

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