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6.如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD=$\sqrt{2}$AE2;④S△ABC=4S△ADF.其中正确的有(  )
A.1个B.2 个C.3 个D.4个

分析 由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=$\frac{1}{2}$AB,证明△ABE是等腰直角三角形,得出AE=BE,证出FE=$\frac{1}{2}$AB,延长FD=FE,①正确;
证出∠ABC=∠C,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,由ASA证明△AEH≌△BEC,得出AH=BC=2CD,②正确;
证明△ABD~△BCE,得出$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{AD}$,即BC•AD=AB•BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BC•AD=$\sqrt{2}$AE2;③正确;
由F是AB的中点,BD=CD,得出S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;即可得出结论.

解答 解:∵在△ABC中,AD和BE是高,
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°,
∵点F是AB的中点,
∴FD=$\frac{1}{2}$AB,
∵∠ABE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AE=BE,
∵点F是AB的中点,
∴FE=$\frac{1}{2}$AB,
∴FD=FE,①正确;
∵∠CBE=∠BAD,∠CBE+∠C=90°,∠BAD+∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC,
∵AD⊥BC,
∴BC=2CD,∠BAD=∠CAD=∠CBE,
在△AEH和△BEC中,$\left\{\begin{array}{l}{∠AEH=∠CEB}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠EAH=∠CBE}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AEH≌△BEC(ASA),
∴AH=BC=2CD,②正确;
∵∠BAD=∠CBE,∠ADB=∠CEB,
∴△ABD~△BCE,
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{AD}$,即BC•AD=AB•BE,
∵$\sqrt{2}$AE2=AB•AE=AB•BE,BC•AD=AC•BE=AB•BE,
∴BC•AD=$\sqrt{2}$AE2;③正确;
∵F是AB的中点,BD=CD,∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF.④正确;
故选:D.

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质;本题综合性强,有一定难度,证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.

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