Question

如图，正方形ABCD的中心为O，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）BE与DF有什么关系？证明你的结论；
（2）OG与BF有什么关系？证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）根据SAS，可得两个三角形全等，根据全等三角形的性质，可得∠CEB=∠F，BE=DF，再根据直角三角新的判定，可得答案；
（2）根据ASA，可得△DBG与△FBG的关系，根据全等三角形的性质，可得DG与FG的关系，根据三角形中位线的性质，可得答案．

解答：答：（1）BE=DF，BE⊥DF，
证明：∵ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°．
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∠CEB=∠F，BE=DF．
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BE⊥DF；
∴BE=DF，BE⊥DF；
（2）OG=

1

2

BF，OG∥BF．
证明：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BGF=90°，
在△BGD和△BGF中，

∠BGD=∠BGF BG=BG ∠DBG=∠FBG

，
∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△BOF的中位线，
∴OG=

1

2

BF，OG∥BF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定，三角形的中位线，题目稍有难度．