Question

15．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4），矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD，AB分别在x轴，y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
②当t=1时，射线AB上存在点Q，使△QME为直角三角形，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为y=a（x-2）²+4，将（0，0）代入求出a即可解决问题；
（2）①根据题意得出P点坐标，进而表示出N点坐标，分两种情形讨论当PN=0，即t=0或t=3时，P、N、C、D所构成的多边形为三角形，求出面积即可，当PN≠0时，P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形，求出面积即可，即可得出最值；
②分两种情形分别以Q，M为直角顶点去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）²+4，
把（0，0）代入解析式得a（0-2）²+4=0，
解得，a=-1，
∴函数解析式为y=-（x-2）²+4，即y=-x²+4x．

（2）存在．
①∵将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动；
同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动，设它们的运动时间为t秒，则点P的坐标为：（t，t），点N的坐标为：（t，-t²+4t），
∴PN=-t²+3t，
当PN=0，即t=0或t=3时，分别如图1，2，P、N、C、D所构成的多边形为三角形，

此时S=$\frac{1}{2}$DC•AD=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
当PN≠0时，如图3，

P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形，
∵PN∥CD，AD⊥DC，
∴S=$\frac{1}{2}$（CD+PN）•AD，
=$\frac{1}{2}$[3+（-t²+3t）]×2，
=-t²+3t+3，
=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{21}{4}$（0≤t≤3），
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{21}{4}$＞3，
综上可知P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值，这个最大值为：$\frac{21}{4}$；

②如图4，作点M作MG⊥AB于点G，作MH⊥x轴于点H，

∵M（2，4），E（4，0），
则EH=2，MH=4，MG=2-1=1，
设点Q的坐标为（1，m），
若∠QME=90°，则△MGQ∽△MHE，
∴MG：GQ=MH：EH，
∴1：GQ=4：2，
解得：GQ=0.5，
∴m=4-0.5=3.5，
∴点Q的坐标为（1，3.5）；
若∠MQE=90°，则△MGQ∽△QAE，
∴MG：GQ=AQ：AE，
∴1：（4-m）=m：3，
解得：m=1或m=3，
∴点Q的坐标为（1，1）或（1，3）；
若∠QEM=90°，则点Q在BA的延长线上，不符合题意．
综上所述：点Q的坐标为：（1，3.5），（1，1），（1，3）．

点评 此题属于二次函数的综合题、待定系数求函数解析式、平移变换、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．