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14.如图(1),在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B、C、F在同一直线上,M是线段AE的中点,连接DM、FM.
(1)延长DM交GE于点N,求证:MD=MN;
(2)求证:①DM⊥FM;②DM=FM;
(3)如图(2),若将“正方形ABCD和正方形CGEF”改为“菱形ABCD和菱形CGEF”,且∠BCD=∠G=120°,其他条件不变,那么DM和FM又有怎样的位置关系和数量关系?直接写出结论.

分析 (1)根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;
(2)连接DF,NF,由四边形ABCD和CGEF是正方形,得到AD∥BC,BC∥GE,于是得到AD∥GE,求得∠DAM=∠NEM,证得△MAD≌△MEN,得出DM=MN,AD=EN,推出△MAD≌△MEN,证出△DFN是等腰直角三角形,即可得到结论;
(3)延长DM交GE于N,连接DF,NF,根据全等三角形的性质得到DM=MN,AD=EN,DF=NF,∠CFD=∠EFN,求得∠DFN=120°,得到∠DMF=90°,∠DFM=$\frac{1}{2}$∠DFN=60°,于是得到结论.

解答 解:(1)∵M是线段AE的中点,
∴AM=EM,
∵AD∥BF∥GE,
∴∠DAC=∠GEC,
在△ADM与△ENM中,$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NEM}\\{AM=EM}\\{∠AMD=∠EMN}\end{array}\right.$,
∴△ADM≌△ENM,
∴MD=MN;
(2)如图(1),DM=FM,DM⊥FM,
证明:连接DF,NF,
∵四边形ABCD和CGEF是正方形,
∴AD∥BC,BC∥GE,
∴AD∥GE,
∴∠DAM=∠NEM,
∵M是AE的中点,
∴AM=EM,
在△MAD与△MEN中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠EMN}\\{AM=EM}\\{∠DAM=∠NEM}\end{array}\right.$,
∴△MAD≌△MEN,
∴DM=MN,AD=EN,
∵AD=CD,
∴CD=NE,
∵CF=EF,∠DCF=∠DCB=90°,
在△DCF与△NEF中,$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠NEF}\\{CF=EF}\end{array}\right.$,
∴△DCF≌△NEF,
∴DF=NF,∠CFD=∠EFN,
∵∠EFN+∠NFC=90°,
∴∠DFC+∠CFN=90°,
∴∠DFN=90°,
∴DM⊥FM,DM=FM;
(3)如图(1),DM=$\sqrt{3}$FM,DM⊥FM,
证明:延长DM交GE于N,连接DF,NF,
∵四边形ABCD和CGEF是菱形,
∴AD∥BC,BC∥GE,
∴AD∥GE,
∴∠DAM=∠NEM,
∵M是AE的中点,
∴AM=EM,
在△MAD与△MEN中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠EMN}\\{AM=EM}\\{∠DAM=∠NEM}\end{array}\right.$,
∴△MAD≌△MEN,
∴DM=MN,AD=EN,
∵AD=CD,
∴CD=NE,
∵CF=EF,∠DCF=∠DCB=60°,
在△DCF与△NEF中,
$\left\{\begin{array}{l}{CD=EN}\\{∠DCF=∠NEF=60°}\\{CF=EF}\end{array}\right.$,
∴△DCF≌△NEF,
∴DF=NF,∠CFD=∠EFN,
∵∠EFN+∠NFC=120°,
∴∠DFC+∠CFN=120°,
∴∠DFN=120°,
∵DM=NM,
∴DM⊥FM,
∴∠DMF=90°,∠DFM=$\frac{1}{2}$∠DFN=60°,
∴$\frac{DM}{MF}$=$\sqrt{3}$,
∴DM=$\sqrt{3}$MF.

点评 本题考查了全等三角形的判定,正方形的性质,菱形的性质,等腰直角三角形的判定和性质,本题中的难点是辅助线的作法,作好辅助线找对解题的方向是本题解答的关键所在.

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